励志

Mystery and Beauty of Attractors

Speaker:
Mr. Wang, Xiong

Title:
Mystery and Beauty of Attractors


Time & Place:
Thu, 15. of Dec. 2011, 11 - 12 am
G-6501, coffee room of the EE department (lift 7), free drinks :-)

Abstract:
First through playing a game, the basic concepts of dynamical system theory such as state space, evolution rule, attractor  will be introduced. Various kinds of application in different disciplines from Nash equilibrium in economics to PageRank of WWW are briefly discussed. Then, different kinds of possible attractor of a dynamic system will be shown, from point attractor, torus attractor, periodic attractor to strange attractor. Finally, some beautiful strange attractors will be illustrated.

About the Speaker:
Xiong Wang has obtained his B.Sc. in math from the Shanghai Jiao Tong University. Currently, he is a PhD student at City University Hong Kong at the Centre for Chaos and Complex Networks located at the EE department. His research interests are chaos, fractal and fundamental questions of nonlinear science.

Re: 第三颗苹果！！！！到底砸在谁头上？？？？？

耐得寂寞，拥得繁华！   送给自己！！！

在 2011年11月19日 下午8:50，王雄 <wangxiong8686@gmail.com>写道：

这篇综述值得一看！！！

在 2011年11月18日 下午9:37，王雄 <wangxiong8686@gmail.com>写道：

（《新发现》专栏文章，勿转）

先打一下广告，应Wolfram Demonstrations Project之邀，我和苗荣欣、庞毅的工作做成了一个展示：

A New Kind of Casimir Energy and Its Implications for Dark Energy

感谢李霄栋帮助我们做成这个展示。

Wolfram Demonstrations Project包纳的范围非常广，从科学到艺术，它的副标题是A free resource of interactive visualizations, from elementary education to the frontiers of research。

最近，著名荷兰弦论家Erik Verlinde（当年荷兰天才少年双胞胎组合中的哥哥）经过半年的深思熟虑，提出了引力不是基本力，而是一种宏观力的建议。具体地说，引力不再是自然界中不可约化的力，而是某种更加基本的自由度集体体现出来的力，就像气体产生的压强，这些力有一个学名，熵力。

那个著名的神话说，牛顿是坐在苹果树下被熟透了的苹果砸中脑袋才想到万有引力的。苹果在我看来是一个隐喻，它隐喻的对象其实是突然闪现在牛顿脑中的那个灵感，这个灵感将行星围绕太阳转动和苹果落地的起因联系了起来。在牛顿的理论中，万有引力存在于任何两个物体之间，而且还是超距的，即不通过任何媒介。这样，万有引力在牛顿看来是一个不可约化的力。

同样，爱因斯坦在两个半世纪后也被一枚苹果砸中，这枚苹果后来被他称为一生中最快乐的想法。在爱因斯坦的灵感中，引力不再是两个物体之间存在的神秘超距作用，而是时间空间弯曲的结果。一个物体使得它周围的时空弯曲，而另一个物体感到了这种弯曲，顺着极小的路径跑。在爱因斯坦的理论中，引力满足因果律，传播的速度是有限的。

弦论研究的重要对象之一还是引力，和牛顿爱因斯坦一样，弦论家们一直认为引力是基本力，不可约化。只是最近十多年来，我们的观点稍稍起了变化，因为引力可以完全等价于不含引力的理论，这种等价性是由全息原理保证的。全息原理说，在一个不含引力的理论中，可能出现一个本来没有的空间维度，这个空间维度完全是一种宏观量，就像气体的温度一样（当然不是一件事情）。引力存在于原来的时空加上这个新的空间维度之中，在这个更大的时空中，我们可以将引力看成是基本的，但在原来的理论中，引力本来不存在，是诱导出来的。

也许，直到最近，第三枚苹果幸运地砸到了Verlinde的头上。Verlinde突然意识到，其实引力不是别的，正是一种叫做熵力的东西。这个苹果的种子其实早己蕴含在前面提到的全息原理之中，只是弦论家们没有明确地意识到引力就是熵力。

那么，什么是熵力？

我们看一下一个气体，气体由分子或原子组成。每个分子本身并不带有压强，但是，对于包含这个气体的墙壁来说，每当一个分子撞到墙上反弹，墙壁感受到一个冲量，当我们将所有分子给予墙壁的冲量加起来，就产生了压强。所以，压强是一种宏观量。压强也是一种熵力。当我们缓慢地移动墙壁时（例如燃烧室的活塞），气体的熵会改变，根据能量守恒原理，熵的改变率乘以温度，就是压强了，熵力就是熵改变引起的力。通常，力的方向与熵增大的方向一致。因为普通的气体的体积越大，熵越大，所以压强是一种倾向于增大体积的力。

在统计物理中，我们有时并不需要具体存在的墙壁就能定义压强。我们可以想象一个平面，分子不停地通过这个平面，压强是分子通过平面时带走的动量。从这个定义来看，压强的确与分子之间的微观力毫无联系，是纯粹的宏观力，纯粹的熵力。

熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力，就是熵力，胡克定律就是熵力的体现。一个更好的例子是高分子的弹性力，假定组成高分子的单体与单体之间不存在任何力，那么高分子的弹性力完全由熵的改成引起，高分子的弹性力趋向于使得高分子蜷曲，因为蜷曲的高分子的熵更大。

这样，我们就可以定义熵力了。熵力不是主要由物体的微观组分之间的力引起的，而是由物体的熵的改成引起的。

接下来，我们问，Verlinde的熵力是什么？

这里就需要用到全息原理了。在Verlinde看来，描述一个空间最初的系统不是这个空间以及存在于这个空间中的物体，而是包围这个空间的曲面。在这个曲面上，有一个微观系统，局部处于平衡态，所以曲面的每个局部都有一些自由度以及被这些自由度携带的熵。当一个试验粒子在外部接近这个曲面时，曲面上的自由度受到这个试验粒子的影响从而熵起了变化。当这个粒子完全融入曲面时，我们认为这个粒子本身也可以由曲面上的自由度描述了。学过一些热力学或统计物理的人知道，当一个系统的能量增大时，熵通常也增大，所以粒子融入曲面后曲面上的熵增大了。通过能量守恒我们得知，熵增对应的熵力是吸引力，即粒子总被曲面包围的空间部分吸引。我们看到，热力学的后果就是万有引力！Verlinde向我们展示，牛顿的万有引力公式以及爱因斯坦理论都可以通过统计物理加全息原理推导出来。

在Verlinde之前，Ted Jacobson有过类似的想法，他建议引力是由熵流引起的，这个想法和Verlinde的想法很类似。Verlinde的贡献在于明确指出引力就是熵力，并且指出，物体的质量或惯性也与熵有关。

Verlinde的论文在网上出现的20多天之间，已经有10篇以上的论文出现，讨论Verlinde这个幸运灵感的后果。例如，我和前学生王一（现在在蒙特利尔的McGill大学做博士后）就用Verlinde的结果推导了著名的紫外/红外关系。我们还指出，暗能量也可以用熵力来解释。

由于暗能量是一个非常重要的问题，我稍微仔细地解释一下。与万有引力不同，暗能量产生斥力。但是我们前面讨论了，Verlinde的熵力只产生引力，如果要产生斥力，我们就得假定将粒子从曲面上拿走，曲面的熵增加，这和通常的热力学是矛盾的！要解决这个矛盾，我们假设在可观测到的宇宙中有一个极大的曲面，所有其他曲面不能超过这个极大曲面。在这个极大曲面之上存在一些独立的自由度，正是这些自由度产生了斥力：当粒子接近这个曲面时，曲面上的熵增加。这个曲面就是所谓的视界，而我们这个建议和过去的很多想法吻合。例如，有人认为，我们这个宇宙的自由度上限是由视界决定的。

引力作为熵力的理论还处于婴儿期，我们有理由相信，接下来的发展会完全改变我们对引力的看法，以及对整个宇宙的看法。

一年半前我写了《第三枚苹果》上篇，介绍了万有引力研究在当时的最新进展。我在那时期待很快有进展，以便写下篇。等了一年多，虽然在Verlinde工作之后，出现很多论文，但一直没有根本性的进展，就一直没有写下篇。我个人和学生们在Verlinde的工作基础上做了一些工作，自认为不错，但不能王婆卖瓜自卖自夸。

我们先回顾一下《第三枚苹果》上篇的主要内容。万有引力研究有两个里程碑，第一个是牛顿发现了以他名字命名的万有引力定律，从而解释了行星运动规律以及地球上受到地球引力作用的物体抛物线运动规律，同时解释了月亮围绕地球运动以及潮汐现象。二百多年以后，爱因斯坦通过他对时空的深刻洞察提出万有引力其实是时空弯曲的结果。例如地球的万有引力是地球的质量引起周围时空弯曲，在这个时空中运动的物体走所谓的“短程线”，其实是物体比较“懒”，在短程线上该物体自己体验到的时间被极大化了。去年一月份，荷兰物理学家Verlinde提出另一种观点，认为万有引力本身并不是最基本的力，而是更加基本的自由度引起的宏观现象，具体地说就是熵力。熵力这个现象在物理世界中并不罕见，例如气体产生的压力，弹簧力，高分子变乱所引力的类似弹簧的收缩力。这些力有一个共同的特点，就是倾向于将更基本的自由度变得更加混乱。例如高分子的弹性力，是由组成高分子的单体“喜欢”排成更加混乱的形态。这有点像口袋中的手机线，不论你如何将手机线整理得多整齐，在口袋放一阵子，再拿出来就乱了。

将引力看成非基本力其实有比较长时间的历史。早在1995年，美国马里兰大学的Jacobson就开始认为引力是一种热力学现象。我们知道，在热力学中，热这个概念就是宏观的，是分子原子运动的结果，压强、熵、焓等都是宏观概念。Jacobson的观点基于黑洞的研究，因为黑洞虽然看起来简单，但其实也有熵和温度。Verlinde将Jacobson的观点推广到更加普通的情形，认为即使没有黑洞，引力场同样有微观的温度和熵，这些温度和熵并不是我们熟知的分子和原子引起的，而是某种更加基本、我们日常看不到的东西引起的。这些东西是什么呢？我们现在并不清楚，但可以从弦论中追溯可能的踪迹。早在1994年，一些弦论家发现，在一些特殊时空里（例如那些具有负常数曲率的时空），引力完全等价于一个生存于虚拟时空中的不含引力的理论，这个理论所在的时空比引力所在的时空至少低一个空间维。这就是所谓的引力的全息原理：引力其实是低维空间中更加“基本”的自由度引起的。但弦论家研究的对象是特殊的时空，而Verlinde认为全息原理在任何时空都是对的，引力就是低维空间中的熵力。

最近，在今年的弦论大会上，Verlinde更加前进了一步，认为引力既可以理解为熵力，也可以理解为更加一般的绝热反作用力。要直观地解释这个物理概念并不容易。大致说来，在一个物理系统中，我们可以将物理参数（如粒子的质量、位置和速度）分成两类，一类是变化快的，一类是变化慢的。例如，一个常温下的气体，粒子的速度通常每秒数百米，这是非常快的速度。在刮风时，风速就要比分子的速度小得多，而风速是集体的平均速度。所以，大量分子的平均速度可以看成是变化慢的物理量。同样，一个气体的体积也是变化慢的量。当气球的体积变化时，所有那些变化快的量会反作用，结果就是对应体积变化的压强，这个压强就是绝热反作用力。

Verlinde新的概念比老的更适用，因为要推导爱因斯坦广义相对论，老的概念中的温度并不总是成立的，我和学生在一些工作中也指出这一点，并提出新的解决方案。在我们的工作中，我们还预言了一般气体有着比分子原子贡献来得更大的熵。我们一直不知道如何从微观的角度解释这个巨大的熵，Verlinde尚未发表的工作看来提供了一个解释思路。例如，在弦论中，任何两个粒子之间都存在着看不见的弦。这些弦如果被激发出来，就会很重。在普通情况下，没有足够能量激发这些弦。但是，在量子论中，即使一个东西不被激发出来，也有看不见的涨落，这些涨落也许会贡献很大的熵，这些熵与万有引力有密切关系。

但粒子之间的“弦”还是普通时空中的自由度，这些自由度同样也该有全息对应。也就是说，当我们研究一个气体时，这个气体可以用包围气体的面上的物理系统来描述，那么，在这个面即全息屏上，这些新的比较重的自由度到底是什么呢？从Verlinde在弦论大会上的演讲，我们还看不到任何线索。

当两个粒子靠得很近时（所谓很近，是比原子甚至原子核的尺度更小），这些看不见的自由度会变轻，从而变得容易被激发出来，那么这个系统的熵会变大。Verlinde就是这样来解释黑洞的。固定质量，黑洞是引力塌缩后尺度最小的系统，所以熵最大。

Verlinde甚至用这些新想法来解释暗能量和暗物质，他大胆地估计了暗能量和暗物质在宇宙中的比重。我想，这是他最大胆同时也是最有趣的想法。我们拭目以待。

Verlinde的演讲

发表于 2011年7月4日 由 李淼

Verlinde在 Strings 2011上的演讲，关于熵引力以及暗能量、暗物质，先将链接放在这里，明天再写听后感。

The Hidden Phase Space of Our Universe

因为Verlinde演讲中细节不多，本想等他文章出来后再谈，结果文章还没有出来。

谈谈大概吧。

Verlinde认为，更一般地说，引力不是熵力，是一个很大系统绝热变化带来的力。在经典力学中，这种力是绝热反作用力——当慢模变化时，快模反作用在慢模上。在量子力学中，Berry phase也会诱导绝热力。

这个想法根源于弦论，但独立于弦论。在弦论中，两个D膜的相互作用就是将开弦积分出去获得的，当D膜相距较远时，开弦可以被看成fast modes，因为比较重。在Matrix theory中，引力子的位置由matrix的对角元给出。将非对角元积出，就得到引力子之间的相互作用，这确实是引力。当两个对角元的数值接近时，即两个引力子靠近时，对应的非对角元能量变小。

Verlinde认为，引力塌缩，就是这个过程，此时非对角元的能量原来越小，熵也越来越大。这就是从Coulumb分支进入Non-abelian分支。

用绝热力概念，他还导出了Bekenstein熵界。

通过phase space不变性（Liouville定理），他从绝热反作用力导出熵力。

最大胆的是，Verlinde认为暗物质和暗能量在他的框架下都可以获得解释。

暗能量占的比重与一个标准差差不多，也就是68%，暗物质占的比重在一个标准差和两个标准差之间，其余是物理。

由于时间限制，他根本没有讲什么细节。

等文章吧。

Re: 第三颗苹果！！！！到底砸在谁头上？？？？？

这篇综述值得一看！！！

在 2011年11月18日 下午9:37，王雄 <wangxiong8686@gmail.com>写道：

（《新发现》专栏文章，勿转）

先打一下广告，应Wolfram Demonstrations Project之邀，我和苗荣欣、庞毅的工作做成了一个展示：

A New Kind of Casimir Energy and Its Implications for Dark Energy

感谢李霄栋帮助我们做成这个展示。

Wolfram Demonstrations Project包纳的范围非常广，从科学到艺术，它的副标题是A free resource of interactive visualizations, from elementary education to the frontiers of research。

最近，著名荷兰弦论家Erik Verlinde（当年荷兰天才少年双胞胎组合中的哥哥）经过半年的深思熟虑，提出了引力不是基本力，而是一种宏观力的建议。具体地说，引力不再是自然界中不可约化的力，而是某种更加基本的自由度集体体现出来的力，就像气体产生的压强，这些力有一个学名，熵力。

那个著名的神话说，牛顿是坐在苹果树下被熟透了的苹果砸中脑袋才想到万有引力的。苹果在我看来是一个隐喻，它隐喻的对象其实是突然闪现在牛顿脑中的那个灵感，这个灵感将行星围绕太阳转动和苹果落地的起因联系了起来。在牛顿的理论中，万有引力存在于任何两个物体之间，而且还是超距的，即不通过任何媒介。这样，万有引力在牛顿看来是一个不可约化的力。

同样，爱因斯坦在两个半世纪后也被一枚苹果砸中，这枚苹果后来被他称为一生中最快乐的想法。在爱因斯坦的灵感中，引力不再是两个物体之间存在的神秘超距作用，而是时间空间弯曲的结果。一个物体使得它周围的时空弯曲，而另一个物体感到了这种弯曲，顺着极小的路径跑。在爱因斯坦的理论中，引力满足因果律，传播的速度是有限的。

弦论研究的重要对象之一还是引力，和牛顿爱因斯坦一样，弦论家们一直认为引力是基本力，不可约化。只是最近十多年来，我们的观点稍稍起了变化，因为引力可以完全等价于不含引力的理论，这种等价性是由全息原理保证的。全息原理说，在一个不含引力的理论中，可能出现一个本来没有的空间维度，这个空间维度完全是一种宏观量，就像气体的温度一样（当然不是一件事情）。引力存在于原来的时空加上这个新的空间维度之中，在这个更大的时空中，我们可以将引力看成是基本的，但在原来的理论中，引力本来不存在，是诱导出来的。

也许，直到最近，第三枚苹果幸运地砸到了Verlinde的头上。Verlinde突然意识到，其实引力不是别的，正是一种叫做熵力的东西。这个苹果的种子其实早己蕴含在前面提到的全息原理之中，只是弦论家们没有明确地意识到引力就是熵力。

那么，什么是熵力？

我们看一下一个气体，气体由分子或原子组成。每个分子本身并不带有压强，但是，对于包含这个气体的墙壁来说，每当一个分子撞到墙上反弹，墙壁感受到一个冲量，当我们将所有分子给予墙壁的冲量加起来，就产生了压强。所以，压强是一种宏观量。压强也是一种熵力。当我们缓慢地移动墙壁时（例如燃烧室的活塞），气体的熵会改变，根据能量守恒原理，熵的改变率乘以温度，就是压强了，熵力就是熵改变引起的力。通常，力的方向与熵增大的方向一致。因为普通的气体的体积越大，熵越大，所以压强是一种倾向于增大体积的力。

在统计物理中，我们有时并不需要具体存在的墙壁就能定义压强。我们可以想象一个平面，分子不停地通过这个平面，压强是分子通过平面时带走的动量。从这个定义来看，压强的确与分子之间的微观力毫无联系，是纯粹的宏观力，纯粹的熵力。

熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力，就是熵力，胡克定律就是熵力的体现。一个更好的例子是高分子的弹性力，假定组成高分子的单体与单体之间不存在任何力，那么高分子的弹性力完全由熵的改成引起，高分子的弹性力趋向于使得高分子蜷曲，因为蜷曲的高分子的熵更大。

这样，我们就可以定义熵力了。熵力不是主要由物体的微观组分之间的力引起的，而是由物体的熵的改成引起的。

接下来，我们问，Verlinde的熵力是什么？

这里就需要用到全息原理了。在Verlinde看来，描述一个空间最初的系统不是这个空间以及存在于这个空间中的物体，而是包围这个空间的曲面。在这个曲面上，有一个微观系统，局部处于平衡态，所以曲面的每个局部都有一些自由度以及被这些自由度携带的熵。当一个试验粒子在外部接近这个曲面时，曲面上的自由度受到这个试验粒子的影响从而熵起了变化。当这个粒子完全融入曲面时，我们认为这个粒子本身也可以由曲面上的自由度描述了。学过一些热力学或统计物理的人知道，当一个系统的能量增大时，熵通常也增大，所以粒子融入曲面后曲面上的熵增大了。通过能量守恒我们得知，熵增对应的熵力是吸引力，即粒子总被曲面包围的空间部分吸引。我们看到，热力学的后果就是万有引力！Verlinde向我们展示，牛顿的万有引力公式以及爱因斯坦理论都可以通过统计物理加全息原理推导出来。

在Verlinde之前，Ted Jacobson有过类似的想法，他建议引力是由熵流引起的，这个想法和Verlinde的想法很类似。Verlinde的贡献在于明确指出引力就是熵力，并且指出，物体的质量或惯性也与熵有关。

Verlinde的论文在网上出现的20多天之间，已经有10篇以上的论文出现，讨论Verlinde这个幸运灵感的后果。例如，我和前学生王一（现在在蒙特利尔的McGill大学做博士后）就用Verlinde的结果推导了著名的紫外/红外关系。我们还指出，暗能量也可以用熵力来解释。

由于暗能量是一个非常重要的问题，我稍微仔细地解释一下。与万有引力不同，暗能量产生斥力。但是我们前面讨论了，Verlinde的熵力只产生引力，如果要产生斥力，我们就得假定将粒子从曲面上拿走，曲面的熵增加，这和通常的热力学是矛盾的！要解决这个矛盾，我们假设在可观测到的宇宙中有一个极大的曲面，所有其他曲面不能超过这个极大曲面。在这个极大曲面之上存在一些独立的自由度，正是这些自由度产生了斥力：当粒子接近这个曲面时，曲面上的熵增加。这个曲面就是所谓的视界，而我们这个建议和过去的很多想法吻合。例如，有人认为，我们这个宇宙的自由度上限是由视界决定的。

引力作为熵力的理论还处于婴儿期，我们有理由相信，接下来的发展会完全改变我们对引力的看法，以及对整个宇宙的看法。

一年半前我写了《第三枚苹果》上篇，介绍了万有引力研究在当时的最新进展。我在那时期待很快有进展，以便写下篇。等了一年多，虽然在Verlinde工作之后，出现很多论文，但一直没有根本性的进展，就一直没有写下篇。我个人和学生们在Verlinde的工作基础上做了一些工作，自认为不错，但不能王婆卖瓜自卖自夸。

我们先回顾一下《第三枚苹果》上篇的主要内容。万有引力研究有两个里程碑，第一个是牛顿发现了以他名字命名的万有引力定律，从而解释了行星运动规律以及地球上受到地球引力作用的物体抛物线运动规律，同时解释了月亮围绕地球运动以及潮汐现象。二百多年以后，爱因斯坦通过他对时空的深刻洞察提出万有引力其实是时空弯曲的结果。例如地球的万有引力是地球的质量引起周围时空弯曲，在这个时空中运动的物体走所谓的“短程线”，其实是物体比较“懒”，在短程线上该物体自己体验到的时间被极大化了。去年一月份，荷兰物理学家Verlinde提出另一种观点，认为万有引力本身并不是最基本的力，而是更加基本的自由度引起的宏观现象，具体地说就是熵力。熵力这个现象在物理世界中并不罕见，例如气体产生的压力，弹簧力，高分子变乱所引力的类似弹簧的收缩力。这些力有一个共同的特点，就是倾向于将更基本的自由度变得更加混乱。例如高分子的弹性力，是由组成高分子的单体“喜欢”排成更加混乱的形态。这有点像口袋中的手机线，不论你如何将手机线整理得多整齐，在口袋放一阵子，再拿出来就乱了。

将引力看成非基本力其实有比较长时间的历史。早在1995年，美国马里兰大学的Jacobson就开始认为引力是一种热力学现象。我们知道，在热力学中，热这个概念就是宏观的，是分子原子运动的结果，压强、熵、焓等都是宏观概念。Jacobson的观点基于黑洞的研究，因为黑洞虽然看起来简单，但其实也有熵和温度。Verlinde将Jacobson的观点推广到更加普通的情形，认为即使没有黑洞，引力场同样有微观的温度和熵，这些温度和熵并不是我们熟知的分子和原子引起的，而是某种更加基本、我们日常看不到的东西引起的。这些东西是什么呢？我们现在并不清楚，但可以从弦论中追溯可能的踪迹。早在1994年，一些弦论家发现，在一些特殊时空里（例如那些具有负常数曲率的时空），引力完全等价于一个生存于虚拟时空中的不含引力的理论，这个理论所在的时空比引力所在的时空至少低一个空间维。这就是所谓的引力的全息原理：引力其实是低维空间中更加“基本”的自由度引起的。但弦论家研究的对象是特殊的时空，而Verlinde认为全息原理在任何时空都是对的，引力就是低维空间中的熵力。

最近，在今年的弦论大会上，Verlinde更加前进了一步，认为引力既可以理解为熵力，也可以理解为更加一般的绝热反作用力。要直观地解释这个物理概念并不容易。大致说来，在一个物理系统中，我们可以将物理参数（如粒子的质量、位置和速度）分成两类，一类是变化快的，一类是变化慢的。例如，一个常温下的气体，粒子的速度通常每秒数百米，这是非常快的速度。在刮风时，风速就要比分子的速度小得多，而风速是集体的平均速度。所以，大量分子的平均速度可以看成是变化慢的物理量。同样，一个气体的体积也是变化慢的量。当气球的体积变化时，所有那些变化快的量会反作用，结果就是对应体积变化的压强，这个压强就是绝热反作用力。

Verlinde新的概念比老的更适用，因为要推导爱因斯坦广义相对论，老的概念中的温度并不总是成立的，我和学生在一些工作中也指出这一点，并提出新的解决方案。在我们的工作中，我们还预言了一般气体有着比分子原子贡献来得更大的熵。我们一直不知道如何从微观的角度解释这个巨大的熵，Verlinde尚未发表的工作看来提供了一个解释思路。例如，在弦论中，任何两个粒子之间都存在着看不见的弦。这些弦如果被激发出来，就会很重。在普通情况下，没有足够能量激发这些弦。但是，在量子论中，即使一个东西不被激发出来，也有看不见的涨落，这些涨落也许会贡献很大的熵，这些熵与万有引力有密切关系。

但粒子之间的“弦”还是普通时空中的自由度，这些自由度同样也该有全息对应。也就是说，当我们研究一个气体时，这个气体可以用包围气体的面上的物理系统来描述，那么，在这个面即全息屏上，这些新的比较重的自由度到底是什么呢？从Verlinde在弦论大会上的演讲，我们还看不到任何线索。

当两个粒子靠得很近时（所谓很近，是比原子甚至原子核的尺度更小），这些看不见的自由度会变轻，从而变得容易被激发出来，那么这个系统的熵会变大。Verlinde就是这样来解释黑洞的。固定质量，黑洞是引力塌缩后尺度最小的系统，所以熵最大。

Verlinde甚至用这些新想法来解释暗能量和暗物质，他大胆地估计了暗能量和暗物质在宇宙中的比重。我想，这是他最大胆同时也是最有趣的想法。我们拭目以待。

Verlinde的演讲

发表于 2011年7月4日 由 李淼

Verlinde在 Strings 2011上的演讲，关于熵引力以及暗能量、暗物质，先将链接放在这里，明天再写听后感。

The Hidden Phase Space of Our Universe

因为Verlinde演讲中细节不多，本想等他文章出来后再谈，结果文章还没有出来。

谈谈大概吧。

Verlinde认为，更一般地说，引力不是熵力，是一个很大系统绝热变化带来的力。在经典力学中，这种力是绝热反作用力——当慢模变化时，快模反作用在慢模上。在量子力学中，Berry phase也会诱导绝热力。

这个想法根源于弦论，但独立于弦论。在弦论中，两个D膜的相互作用就是将开弦积分出去获得的，当D膜相距较远时，开弦可以被看成fast modes，因为比较重。在Matrix theory中，引力子的位置由matrix的对角元给出。将非对角元积出，就得到引力子之间的相互作用，这确实是引力。当两个对角元的数值接近时，即两个引力子靠近时，对应的非对角元能量变小。

Verlinde认为，引力塌缩，就是这个过程，此时非对角元的能量原来越小，熵也越来越大。这就是从Coulumb分支进入Non-abelian分支。

用绝热力概念，他还导出了Bekenstein熵界。

通过phase space不变性（Liouville定理），他从绝热反作用力导出熵力。

最大胆的是，Verlinde认为暗物质和暗能量在他的框架下都可以获得解释。

暗能量占的比重与一个标准差差不多，也就是68%，暗物质占的比重在一个标准差和两个标准差之间，其余是物理。

由于时间限制，他根本没有讲什么细节。

等文章吧。

第三颗苹果！！！！到底砸在谁头上？？？？？

（《新发现》专栏文章，勿转）

先打一下广告，应Wolfram Demonstrations Project之邀，我和苗荣欣、庞毅的工作做成了一个展示：

A New Kind of Casimir Energy and Its Implications for Dark Energy

感谢李霄栋帮助我们做成这个展示。

Wolfram Demonstrations Project包纳的范围非常广，从科学到艺术，它的副标题是A free resource of interactive visualizations, from elementary education to the frontiers of research。

最近，著名荷兰弦论家Erik Verlinde（当年荷兰天才少年双胞胎组合中的哥哥）经过半年的深思熟虑，提出了引力不是基本力，而是一种宏观力的建议。具体地说，引力不再是自然界中不可约化的力，而是某种更加基本的自由度集体体现出来的力，就像气体产生的压强，这些力有一个学名，熵力。

那个著名的神话说，牛顿是坐在苹果树下被熟透了的苹果砸中脑袋才想到万有引力的。苹果在我看来是一个隐喻，它隐喻的对象其实是突然闪现在牛顿脑中的那个灵感，这个灵感将行星围绕太阳转动和苹果落地的起因联系了起来。在牛顿的理论中，万有引力存在于任何两个物体之间，而且还是超距的，即不通过任何媒介。这样，万有引力在牛顿看来是一个不可约化的力。

同样，爱因斯坦在两个半世纪后也被一枚苹果砸中，这枚苹果后来被他称为一生中最快乐的想法。在爱因斯坦的灵感中，引力不再是两个物体之间存在的神秘超距作用，而是时间空间弯曲的结果。一个物体使得它周围的时空弯曲，而另一个物体感到了这种弯曲，顺着极小的路径跑。在爱因斯坦的理论中，引力满足因果律，传播的速度是有限的。

弦论研究的重要对象之一还是引力，和牛顿爱因斯坦一样，弦论家们一直认为引力是基本力，不可约化。只是最近十多年来，我们的观点稍稍起了变化，因为引力可以完全等价于不含引力的理论，这种等价性是由全息原理保证的。全息原理说，在一个不含引力的理论中，可能出现一个本来没有的空间维度，这个空间维度完全是一种宏观量，就像气体的温度一样（当然不是一件事情）。引力存在于原来的时空加上这个新的空间维度之中，在这个更大的时空中，我们可以将引力看成是基本的，但在原来的理论中，引力本来不存在，是诱导出来的。

也许，直到最近，第三枚苹果幸运地砸到了Verlinde的头上。Verlinde突然意识到，其实引力不是别的，正是一种叫做熵力的东西。这个苹果的种子其实早己蕴含在前面提到的全息原理之中，只是弦论家们没有明确地意识到引力就是熵力。

那么，什么是熵力？

我们看一下一个气体，气体由分子或原子组成。每个分子本身并不带有压强，但是，对于包含这个气体的墙壁来说，每当一个分子撞到墙上反弹，墙壁感受到一个冲量，当我们将所有分子给予墙壁的冲量加起来，就产生了压强。所以，压强是一种宏观量。压强也是一种熵力。当我们缓慢地移动墙壁时（例如燃烧室的活塞），气体的熵会改变，根据能量守恒原理，熵的改变率乘以温度，就是压强了，熵力就是熵改变引起的力。通常，力的方向与熵增大的方向一致。因为普通的气体的体积越大，熵越大，所以压强是一种倾向于增大体积的力。

在统计物理中，我们有时并不需要具体存在的墙壁就能定义压强。我们可以想象一个平面，分子不停地通过这个平面，压强是分子通过平面时带走的动量。从这个定义来看，压强的确与分子之间的微观力毫无联系，是纯粹的宏观力，纯粹的熵力。

熵力另一个具体的例子是弹性力。一根弹簧的力，就是熵力，胡克定律就是熵力的体现。一个更好的例子是高分子的弹性力，假定组成高分子的单体与单体之间不存在任何力，那么高分子的弹性力完全由熵的改成引起，高分子的弹性力趋向于使得高分子蜷曲，因为蜷曲的高分子的熵更大。

这样，我们就可以定义熵力了。熵力不是主要由物体的微观组分之间的力引起的，而是由物体的熵的改成引起的。

接下来，我们问，Verlinde的熵力是什么？

这里就需要用到全息原理了。在Verlinde看来，描述一个空间最初的系统不是这个空间以及存在于这个空间中的物体，而是包围这个空间的曲面。在这个曲面上，有一个微观系统，局部处于平衡态，所以曲面的每个局部都有一些自由度以及被这些自由度携带的熵。当一个试验粒子在外部接近这个曲面时，曲面上的自由度受到这个试验粒子的影响从而熵起了变化。当这个粒子完全融入曲面时，我们认为这个粒子本身也可以由曲面上的自由度描述了。学过一些热力学或统计物理的人知道，当一个系统的能量增大时，熵通常也增大，所以粒子融入曲面后曲面上的熵增大了。通过能量守恒我们得知，熵增对应的熵力是吸引力，即粒子总被曲面包围的空间部分吸引。我们看到，热力学的后果就是万有引力！Verlinde向我们展示，牛顿的万有引力公式以及爱因斯坦理论都可以通过统计物理加全息原理推导出来。

在Verlinde之前，Ted Jacobson有过类似的想法，他建议引力是由熵流引起的，这个想法和Verlinde的想法很类似。Verlinde的贡献在于明确指出引力就是熵力，并且指出，物体的质量或惯性也与熵有关。

Verlinde的论文在网上出现的20多天之间，已经有10篇以上的论文出现，讨论Verlinde这个幸运灵感的后果。例如，我和前学生王一（现在在蒙特利尔的McGill大学做博士后）就用Verlinde的结果推导了著名的紫外/红外关系。我们还指出，暗能量也可以用熵力来解释。

由于暗能量是一个非常重要的问题，我稍微仔细地解释一下。与万有引力不同，暗能量产生斥力。但是我们前面讨论了，Verlinde的熵力只产生引力，如果要产生斥力，我们就得假定将粒子从曲面上拿走，曲面的熵增加，这和通常的热力学是矛盾的！要解决这个矛盾，我们假设在可观测到的宇宙中有一个极大的曲面，所有其他曲面不能超过这个极大曲面。在这个极大曲面之上存在一些独立的自由度，正是这些自由度产生了斥力：当粒子接近这个曲面时，曲面上的熵增加。这个曲面就是所谓的视界，而我们这个建议和过去的很多想法吻合。例如，有人认为，我们这个宇宙的自由度上限是由视界决定的。

引力作为熵力的理论还处于婴儿期，我们有理由相信，接下来的发展会完全改变我们对引力的看法，以及对整个宇宙的看法。

一年半前我写了《第三枚苹果》上篇，介绍了万有引力研究在当时的最新进展。我在那时期待很快有进展，以便写下篇。等了一年多，虽然在Verlinde工作之后，出现很多论文，但一直没有根本性的进展，就一直没有写下篇。我个人和学生们在Verlinde的工作基础上做了一些工作，自认为不错，但不能王婆卖瓜自卖自夸。

我们先回顾一下《第三枚苹果》上篇的主要内容。万有引力研究有两个里程碑，第一个是牛顿发现了以他名字命名的万有引力定律，从而解释了行星运动规律以及地球上受到地球引力作用的物体抛物线运动规律，同时解释了月亮围绕地球运动以及潮汐现象。二百多年以后，爱因斯坦通过他对时空的深刻洞察提出万有引力其实是时空弯曲的结果。例如地球的万有引力是地球的质量引起周围时空弯曲，在这个时空中运动的物体走所谓的“短程线”，其实是物体比较“懒”，在短程线上该物体自己体验到的时间被极大化了。去年一月份，荷兰物理学家Verlinde提出另一种观点，认为万有引力本身并不是最基本的力，而是更加基本的自由度引起的宏观现象，具体地说就是熵力。熵力这个现象在物理世界中并不罕见，例如气体产生的压力，弹簧力，高分子变乱所引力的类似弹簧的收缩力。这些力有一个共同的特点，就是倾向于将更基本的自由度变得更加混乱。例如高分子的弹性力，是由组成高分子的单体“喜欢”排成更加混乱的形态。这有点像口袋中的手机线，不论你如何将手机线整理得多整齐，在口袋放一阵子，再拿出来就乱了。

将引力看成非基本力其实有比较长时间的历史。早在1995年，美国马里兰大学的Jacobson就开始认为引力是一种热力学现象。我们知道，在热力学中，热这个概念就是宏观的，是分子原子运动的结果，压强、熵、焓等都是宏观概念。Jacobson的观点基于黑洞的研究，因为黑洞虽然看起来简单，但其实也有熵和温度。Verlinde将Jacobson的观点推广到更加普通的情形，认为即使没有黑洞，引力场同样有微观的温度和熵，这些温度和熵并不是我们熟知的分子和原子引起的，而是某种更加基本、我们日常看不到的东西引起的。这些东西是什么呢？我们现在并不清楚，但可以从弦论中追溯可能的踪迹。早在1994年，一些弦论家发现，在一些特殊时空里（例如那些具有负常数曲率的时空），引力完全等价于一个生存于虚拟时空中的不含引力的理论，这个理论所在的时空比引力所在的时空至少低一个空间维。这就是所谓的引力的全息原理：引力其实是低维空间中更加“基本”的自由度引起的。但弦论家研究的对象是特殊的时空，而Verlinde认为全息原理在任何时空都是对的，引力就是低维空间中的熵力。

最近，在今年的弦论大会上，Verlinde更加前进了一步，认为引力既可以理解为熵力，也可以理解为更加一般的绝热反作用力。要直观地解释这个物理概念并不容易。大致说来，在一个物理系统中，我们可以将物理参数（如粒子的质量、位置和速度）分成两类，一类是变化快的，一类是变化慢的。例如，一个常温下的气体，粒子的速度通常每秒数百米，这是非常快的速度。在刮风时，风速就要比分子的速度小得多，而风速是集体的平均速度。所以，大量分子的平均速度可以看成是变化慢的物理量。同样，一个气体的体积也是变化慢的量。当气球的体积变化时，所有那些变化快的量会反作用，结果就是对应体积变化的压强，这个压强就是绝热反作用力。

Verlinde新的概念比老的更适用，因为要推导爱因斯坦广义相对论，老的概念中的温度并不总是成立的，我和学生在一些工作中也指出这一点，并提出新的解决方案。在我们的工作中，我们还预言了一般气体有着比分子原子贡献来得更大的熵。我们一直不知道如何从微观的角度解释这个巨大的熵，Verlinde尚未发表的工作看来提供了一个解释思路。例如，在弦论中，任何两个粒子之间都存在着看不见的弦。这些弦如果被激发出来，就会很重。在普通情况下，没有足够能量激发这些弦。但是，在量子论中，即使一个东西不被激发出来，也有看不见的涨落，这些涨落也许会贡献很大的熵，这些熵与万有引力有密切关系。

但粒子之间的“弦”还是普通时空中的自由度，这些自由度同样也该有全息对应。也就是说，当我们研究一个气体时，这个气体可以用包围气体的面上的物理系统来描述，那么，在这个面即全息屏上，这些新的比较重的自由度到底是什么呢？从Verlinde在弦论大会上的演讲，我们还看不到任何线索。

当两个粒子靠得很近时（所谓很近，是比原子甚至原子核的尺度更小），这些看不见的自由度会变轻，从而变得容易被激发出来，那么这个系统的熵会变大。Verlinde就是这样来解释黑洞的。固定质量，黑洞是引力塌缩后尺度最小的系统，所以熵最大。

Verlinde甚至用这些新想法来解释暗能量和暗物质，他大胆地估计了暗能量和暗物质在宇宙中的比重。我想，这是他最大胆同时也是最有趣的想法。我们拭目以待。

Verlinde的演讲

发表于 2011年7月4日 由 李淼

Verlinde在 Strings 2011上的演讲，关于熵引力以及暗能量、暗物质，先将链接放在这里，明天再写听后感。

The Hidden Phase Space of Our Universe

因为Verlinde演讲中细节不多，本想等他文章出来后再谈，结果文章还没有出来。

谈谈大概吧。

Verlinde认为，更一般地说，引力不是熵力，是一个很大系统绝热变化带来的力。在经典力学中，这种力是绝热反作用力——当慢模变化时，快模反作用在慢模上。在量子力学中，Berry phase也会诱导绝热力。

这个想法根源于弦论，但独立于弦论。在弦论中，两个D膜的相互作用就是将开弦积分出去获得的，当D膜相距较远时，开弦可以被看成fast modes，因为比较重。在Matrix theory中，引力子的位置由matrix的对角元给出。将非对角元积出，就得到引力子之间的相互作用，这确实是引力。当两个对角元的数值接近时，即两个引力子靠近时，对应的非对角元能量变小。

Verlinde认为，引力塌缩，就是这个过程，此时非对角元的能量原来越小，熵也越来越大。这就是从Coulumb分支进入Non-abelian分支。

用绝热力概念，他还导出了Bekenstein熵界。

通过phase space不变性（Liouville定理），他从绝热反作用力导出熵力。

最大胆的是，Verlinde认为暗物质和暗能量在他的框架下都可以获得解释。

暗能量占的比重与一个标准差差不多，也就是68%，暗物质占的比重在一个标准差和两个标准差之间，其余是物理。

由于时间限制，他根本没有讲什么细节。

等文章吧。